Chương 5 Kiểm tra tự đánh giá lần 1

5.1 Phần câu hỏi không dùng R (Tổng điểm: 10)

5.1.1 Câu 1: Giải tích 1

(1 điểm/ câu, nếu làm sai: -2 điểm/ câu)

Tìm đạo hàm các hàm số sau.

  1. \(y = 6x^{-3} + \frac{6}{x^3}\)
  2. \(y = \frac{3x^4-6x^2-x-4}{x^3}\)

5.1.2 Câu 2: Giải tích 2

(1 điểm/ câu, nếu làm sai: -2 điểm/ câu)

Tìm \(x\) sao cho các hàm sau đạt cực trị (lớn nhất/nhỏ nhất).

  1. \(y=6x^2-10x-8\)
  2. \(y=(6x^2-10x-8)^2\)

5.1.3 Câu 3: Ma trận 1

(0.5 điểm/ câu, nếu làm sai: -1 điểm/ câu)

Cho hai ma trận sau: \(A = \begin{bmatrix} 1&6\\-2&4\end{bmatrix}\)\(B = \begin{bmatrix} -3 & -8 \\ 6 & 4 \end{bmatrix}\)

  1. Tính \(AB\)
  2. Tính \(A^{-1}B^{-1}\), so sánh với \((AB)^{-1}\)
  3. Tính trace của \(A\),\(B\)\(A+B\)

5.1.4 Câu 4: Ma trận 2

(2 điểm, nếu làm sai: -3 điểm)

Tìm nghiệm của hệ phương trình sau

\[\begin{cases} x_1+x_2+2x_3+x_4 = 1 \\ 2x_1+x_3+x_4 = 0 \\x_1+2x_2+x_3+2x_4 = 1\\ x_1+x_2 = -1 \end{cases}\]

5.1.5 Câu 5: Xác suất 1

(0.5 điểm/ câu, nếu làm sai: - 0.5 điểm/ câu)

Cho hàm PDF như sau: \[f(x) = \begin{cases} \alpha e^{-\alpha x}, \text{ } x \ge 0 \\ 0,\text{ } x < 0 \end{cases}\]

  1. Tính \(\alpha\)
  2. Tìm \(E(X)\)\(\text{Var}(X)\)
  3. Tính \(P(X \le 2)\)

5.1.6 Câu 6: Xác suất 2

(1 điểm, nếu làm sai: 0 điểm)

Giả sử mức lỗ khoản đầu tư của một công ty hằng năm tuân theo phân phối có PDF như sau.

\[f(x) = \begin{cases} \frac{2.5(0.6)^{2.5}}{x^{3.5}}, x>0.6 \\ 0, x \le 0.6 \end{cases}\]

Công ty này đồng thời cũng mua bảo hiểm đầu tư với điều khoản giảm trừ hằng năm là USD\(2\).

Tính kỳ vọng của mức lỗ hằng năm công ty này chiụ mà bảo hiểm không trả.

5.2 Phần câu hỏi dùng R: Lý thuyết Danh mục đầu tư hiện đại (Tổng điểm: 10)

5.2.1 Câu 7: R 1

(1 điểm)

Cho dữ liệu giá các chứng khoán Apple (AAPL), Google (GOOG), Microsoft (MSFT), IBM (IBM) và AT&T (T) từ ngày 1/1/2008 đến ngày 31/12/2012 được lưu trữ trong biến IT. Phương pháp tính lợi suất như sau:

\[ r = \log \frac{P_t}{P_{t-1}}\]

trong đó \(t\) là thời điểm quan sát giá \(P\).

Đồ thị giá các cổ phiếu như sau:

Lợi suất được tính toán sẵn theo biến returns.

return <- IT[,7:9]
appl <- subset(return, ticker=="AAPL")[-1,]
goog <- subset(return, ticker=="GOOG")[-1,]
msft <- subset(return, ticker=="MSFT")[-1,]
ibm <- subset(return, ticker=="IBM")[-1,]
t <- subset(return, ticker=="T")[-1,]
appl <- appl[,3]
goog <- goog[,3]
msft <- msft[,3]
ibm <- ibm[,3]
t <- t[,3]
returns <- cbind(appl, goog, msft, ibm, t)
colnames(returns) = c('APPL','GOOG','MSFT','IBM','T')
head(returns,5)
##               APPL          GOOG         MSFT          IBM           T
## [1,]  0.0004619557  0.0002043298  0.004259346  0.002006241  0.00951255
## [2,] -0.0763350793 -0.0413377228 -0.027990283 -0.035939111 -0.01208032
## [3,] -0.0133851064 -0.0117959976  0.006690053 -0.010679224  0.01320655
## [4,] -0.0359719289 -0.0270620238 -0.033516173 -0.024588195 -0.04557650
## [5,]  0.0475914935  0.0340678542  0.029595765  0.007378222 -0.00408586

Câu hỏi: Vẽ đồ thị histogram của biến này, đồng thời so sánh với phân phối Normal.

eyJsYW5ndWFnZSI6InIiLCJzYW1wbGUiOiIjIEhpc3RvZ3JhbSJ9

5.2.2 Câu 8: R 2

(1 điểm)

Gọi \(\alpha\) là tỷ trọng đầu tư cổ phiếu Apple trong danh mục đầu tư gồm Apple và Microsoft. Nếu \(X\)\(Y\) là biến lợi suất của các cổ phiếu (theo thứ tự trên), công thức tính phương sai của lợi suất danh mục này như sau

\[f(\alpha) = \text{Var}(\alpha X + (1-\alpha)Y) = \alpha^2 \sigma_X^2 + (1-\alpha)^2 \sigma_Y^2 + 2\alpha (1-\alpha)\text{Cov}(X,Y)\]

trong đó \(\text{Cov}(X,Y) = \sigma_X \sigma_Y \rho(X,Y)\) là hiệp phương sai của hai biến, \(\rho\) là hệ số tương quan.

Trong R hãy vẽ đồ thị thể hiện mối quan hệ giữa phương sai danh mục và tỷ trọng đầu tư đối với các trường hợp \(\rho\) mang giá trị \(-1,-0.5,0,0.5,1\).

Theo đồ thị phương sai danh mục đạt nhỏ nhất với \(\alpha\)\(\rho\) mang giá trị bao nhiêu?

eyJsYW5ndWFnZSI6InIiLCJzYW1wbGUiOiIjIEdyYXBoXG5cbiMgTWluaW11bSB2YXJpYW5jZSJ9

Thông tin sau được sử dụng cho câu 9 và 10

Lý thuyết Danh mục đầu tư hiện đại của Harry Markowitz (1952) được áp dụng cho danh mục gồm nhiều tài sản. Một số khái niệm cần được đề cập:

  • Giả định vector \(k\times 1\) tài sản \(X\) có phương sai cố định.
  • Danh mục đầu tư \(P\) được hình thành dựa trên vector \(k \times 1\) tỷ trọng \(w\) như sau: \[P = w^TX\]
  • Với ma trận hiệp phương sai \(k \times k\) \(\mathbb{V}\), phương sai của danh mục đầu tư được tính:

\[\text{Var}(P) = w^T \mathbb{V} w\]

Bài toán đặt ra: ta cần chọn ra bộ tỷ trọng \(w\) phù hợp thoả mãn: cùng mức lợi suất \(P\) ta đạt được phương sai \(\text{Var}(P)\) nhỏ nhất và cùng mức \(\text{Var}(P)\) ta đạt được mức lợi suất \(P\) lớn nhất.

5.2.3 Câu 9: R 3

(1 điểm)

Từ ma trận hiệp phương sai \(\mathbb{V}\), tạo ma trận có dạng như sau

\[\begin{bmatrix} \mathbb{V} & \overrightarrow{1} & \overrightarrow{\bar{X}} \\ \overrightarrow{1} & 0 & 0 \\ \overrightarrow{\bar{X}} &0 &0 \end{bmatrix}\] trong đó \(\overrightarrow{1}\)vector \(1 \times k\) chỉ gồm số \(1\), \(\overrightarrow{\bar{X}}\)vector \(1 \times k\) gồm trung bình lợi suất của các cổ phiếu trong danh mục.

Trong R, hãy tạo lập ma trận như trên và lưu trữ chúng trong biến Q.

Gợi ý: sử dụng hàm cov() để tính ma trận hiệp phương sai và rbind()cbind() để mở rộng ma trận.

eyJsYW5ndWFnZSI6InIiLCJzYW1wbGUiOiIjIHNhdmUgdGhlIHJlc3VsdCB0byBRIn0=

5.2.4 Câu 10: R 4

(2 điểm: a. 1.25 điểm; b.0.75 điểm)

Tỷ trọng \(w\) được tìm thấy dựa vào phương trình ma trận sau:

\[\begin{bmatrix} \mathbb{V} & \overrightarrow{1} & \overrightarrow{\bar{X}} \\ \overrightarrow{1} & 0 & 0 \\ \overrightarrow{\bar{X}} &0 &0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} w \\ \lambda_1 \\ \lambda_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 1\\ \mu \end{bmatrix}\]

trong đó \(\lambda_i\) là các giá trị số nhân Lagrange, \(\mu\) là trung bình lợi suất danh mục.

  1. Cho \(\mu = 0.005\) hãy tìm \(w\) trong R.

  2. Áp dụng nhiều giá trị cho \(\mu\) bằng hàm seq(min(r),max(r),100) trong đó rvector trung bình lợi suất các cổ phiếu, hãy vẽ đồ thị giữa lợi suất danh mục và phương sai danh mục.

eyJsYW5ndWFnZSI6InIiLCJzYW1wbGUiOiIjIEZpbmQgd1xuXG4jIEdyYXBoIn0=